Частота регистрации движений
В современных биомеханических системах заложены технические параметры, позволяющие регистрировать кинематику локомоций человека с частотами от 50 до 1000 Гц. Возникают вопросы:
— при каких движениях следует применять высокоскоростную видеосъемку;
— имеет ли смысл регистрировать кинематические параметры локомоций с высокими частотами (высокая частота регистрации значительно повышает стоимость оборудования);
— какие частоты являются оптимальными при регистрации базисных локомоций человека (ходьба и бег).
Частотный спектр локомоций. Результаты спектрального анализа углов в тазобедренном, коленном и голеностопном суставах при беге 170 шагов/мин и ходьбе – темп 90-100 шагов/мин, зарегистрированные с помощью системы PEAK PERFORMANCE с частотой 60 Гц и представлены на рисунке 1. Для ходьбы и бега в указанном темпе 90% спектральной мощности приходится на следующие частоты: тазобедренном суставе 3-4 Гц; в коленном сустав 3-5 Гц; в голеностопном 4-5 Гц. Самые высокие частоты линейных координат при локомоциях человека по данным Винтера (Winter, 1974) и Смита (Smith, 1972) достигают 4-5 Гц.
Согласно теории обработки сигналов [Отнес, Эноксон, 1982; Бендат, Пирсол, 1974; Карповски Дж. с соавт. 1990] частота считывания сигнала должна быть не менее двух раз выше частоты регистрируемого сигнала. Следовательно, частоты «обычного» видеосигнала в 25 Гц теоретически достаточно для регистрации угловых характеристик ходьбы и бега.
Оценим, с какой точностью могут вычисляться угловые скорости и ускорения при частоте съемки 25 Гц. Для этого воспользуемся формулой (таблица 1), предложенной Teulings H. L., Maarse F. J. (Teulings H. L., Maarse F. J. , 1984):, где— частота считывания; W – значение частоты, выше которой нет интересующих частот сигнала; K – значение производной (K=1 для скорости, K=2 для ускорения);— максимальная частота в регистрируемом сигнале, соответствующая 80-90% мощности спектра.
Рисунок 1 — Нормированная амплитуда спектра углов в суставах нижней конечности при беге и ходьбе
Таблица 1 — Теоретическое определение частоты регистрации кинематики локомоций
N |
W |
Частота регистрации f(Гц), необходимая для достоверного расчета скорости и ускорения (Teulings, 1984) |
||
f для скорости |
f для ускорения |
|||
1 |
10 |
7 |
14 |
17 |
2 |
12 |
7 |
24 |
41 |
3 |
15 |
8 |
35 |
74 |
4 |
20 |
10 |
53 |
128 |
5 |
25 |
12 |
72 |
188 |
По данным спектрального анализа ходьбы и бега полезные частоты сигнала в голеностопном суставе (рисунок 1) менее 7 Гц (=7 Гц). Частота тремора кисти при синдроме Паркинсона менее 12 Гц (собственные исследования), поэтому вполне возможно предположить, что в самых интенсивных локомоциях человека 80-90% мощности спектра угловых и линейных частот будет в диапазоне 0-12 Гц. Поэтому, приняли верхнюю границу частоты полезного сигнала W =12 Гц. Рассчитали необходимые параметры регистрации кинематических характеристик локомоций оптико-электронной аппаратурой с целью достоверного определения угловой скорости и ускорения (таблица 1). При =7 Гц, W =12 Гц для точного расчета второй производной необходимая частота регистрации составляет 41 Гц.
В том случае если движение высокочастотное (например, тремор кисти при болезни Паркинсоа=12 Гц), то частота видеосъемки, для точного расчета второй производной, возрастает до 188 Гц (таблица 1).
Для достоверного получения угловой скорости и ускорения, при условии, что частоты движения не выше 7 Гц (как имеет место при ходьбе и беге), вполне достаточно видеосъемки с частотой 50 Гц.
Влияние ошибок измерений оценим на примере модельной задачи. Зададим траекторию в виде функции синуса: fС(t)=sin(t), где время t задано с дискретностью =0,02 с. На эту функцию наложим шум, равный 5% от амплитуды сигнала: fШ(t)=0,05*sin(50*t ). Такая ошибка возникает при видеосъемке с частотой 50 Гц, при поле видения камер, равным 2500 мм (таблица 2). Функция fР(t), содержащая полезный сигнал fС(t)) и шум (fШ(t,) имеет вид, представленный на рисунке 2:
fР(t)= sin(t)+ 0,05*sin(50*t ), (1)
Продифференцируем (1) по разностной формуле:
(2)
Первые производные функций fС(t) и fР(t) представлены на рисунке 3.
Амплитуда первой производной основного сигнала (выделено жирной линией на рисунке 3) cos(t) изменяется в 2,5 раза, т.е. добавление небольшой по амплитуде (всего 5% от величины исходного сигнала) функции, равной 0,05* sin(50*t ) к основному сигналу sin(t) приводит к тому, что шум полностью «маскирует» основной сигнал . Причина заключается в том, что частота съемки, равная 50 Гц, при расчете скорости (по уравнению 2 ) увеличивает коэффициент шума (принятый за 0,05, таблице 2) в 2,5 раза:
= cos(t)+0,05*50* cos(50*t ) (3)
Отметим, что усиление шума при расчете ускорения составит 125 раз:
)= -sin(t) – 0,05*50*50*sin(50*t ) (4)
Из уравнений (3 и 4) следует, что увеличение скорости видеосъемки не приносит желаемого результата — повышения точности регистрации кинематических параметров. Увеличение частоты регистрации кинематических параметров линейно увеличивает начальный шум первых производных (3).Ускорение искажается как квадрат от скорости видеосъемки (4).
Расчеты, проведенные по уравнениям (3) и (4) носят теоретический характер и получены на модельной задаче. Рассмотрим, что будет при расчете производных в реальном движении, если регистрировать его с высокой частотой, например, 450 Гц (камера Red Lake).
Зарегистрируем падение шарика с высокой частотой, а затем, применим метод скользящего среднего по N точкам. Теоретически точность регистрации должна увеличиться на величину (ошибка среднего по N измерениям). На рисунках 4 и 5 представлены фрагменты эксперимента и результаты расчетов второй производной при свободном падении шарика.
Таблица 2 — Относительные ошибки определения координат при скорости =3,5 м/c в зависимости от частоты регистрации и поля видения камер
Расстояние (мм) |
Систематическая погрешность (мм) при размере матрицы 640 на 491 точек |
Расстояние за межкадровый интервал (мм) |
Ошибка (%) |
Частота регистрации 25 Гц |
|||
2000 |
3,0 |
140 |
2,1 |
3000 |
4,7 |
3,3 |
|
4000 |
6,3 |
4,5 |
|
Частота регистрации 50 Гц |
|||
2000 |
3,0 |
70 |
4,3 |
3000 |
4,7 |
6,6 |
|
4000 |
6,3 |
9,0 |
|
Частота регистрации 100 Гц |
|||
2000 |
3,0 |
35 |
8,6 |
3000 |
4,7 |
13,4 |
|
4000 |
6,3 |
18,0 |
|
Частота регистрации 500 Гц |
|||
2000 |
3,0 |
7 |
42,8 |
3000 |
4,7 |
67,1 |
|
4000 |
6,3 |
90,0 |
Рисунок 2 — Функция fР(t)= sin(t)+0,05* sin(50*t )
Рисунок 3 — Расчет первых производных функции fС(t) и fР(t)
Рисунок 4 — Регистрация кинематических характеристик при свободном падении мяча методом высокоскоростной (450 Гц) видеосъемки. Вертикальный прямоугольник — тест-объект
Рисунок 5 — Ускорение свободного падения мяча, рассчитанное по кинематическим данным, зарегистрированным с частотой 450 Гц, и после сглаживания по 9 точкам методом скользящего среднего
На рисунках 6 и 7 представлены результаты расчетов второй производной, но при значительно уменьшенной частоте регистрации. Из исходного массива «убрали» каждую вторую точку, таким образом, снизили частоту регистрации до 225 Гц. Затем вычитали 3 точки – понизив, таким способом частоту регистрации, до 112 Гц.
Рисунок 6 — Перемещение шарика по вертикали при свободном падении. Частота
регистрации 450 Гц
Рисунок 7 — Ускорение свободного падения мяча, рассчитанное по кинематическим данным, зарегистрированным с частотой 225 Гц, и после сглаживания по 9 точкам методом скользящего среднего
Увеличение частоты регистрации до 450 Гц с последующим сглаживанием методом скользящего среднего по 9 точкам, не привело к повышению точности измерений. Это можно объяснить следующим. При высокой частоте видеосъемки, для того, чтобы обеспечить большой поток видео через шину PCI, программно размер матрицы из стандарта VGA ( 640 на 490) уменьшается в два раза (для камеры Red Lake это 320 на 270 пикселей). В начале сводного полета (после отрыва от кисти) движение шарика происходит с невысокой скоростью: , время проведения эксперимента 0,34 с. Поэтому за межкадровый интервал (=0,002 с) шарик «не успевает» переместиться на расстояние, которое может быть зарегистрировано считывающим устройством, состоящим из светочувствительных элементов. Происходит последовательно «наложение» изображения. В результате, особенно в начале движения, вертикальные координата шарика принимает ступенчатый вид, который не может быть «исправлен» усреднением даже по 9 точкам (рисунок 6). Уменьшение частоты регистрации до 225 Гц с последующим сглаживанием, также не дало положительного результата (рисунок 7).
Только уменьшение частоты регистрации до 112 Гц (за счет пропуска 3 последовательных точек с последующим сглаживанием по 9 точкам) дало возможность численно (по формуле 2) получить ускорение свободного падения, близкое к 9,81 м/с*с. (рисунок 8).
Рисунок 8 — Ускорение свободного падения мяча, рассчитанное по кинематическим данным, зарегистрированным с частотой 112 Гц, и после сглаживания по 9 точкам методом скользящего среднего