Метод расчета трехмерных координат с помощью двух плоских снимков

Введение. Применение не метрологических регистрирующих устройств (т.е. камер без внутренней системы ориентации) создает определенные трудности в использовании программного и аппаратного обеспечения, применяемого в стереофотограмметрии. В 1971 году Y.I. Abdel-Aziz, H.M. Karara (Abdel-Aziz, Y.I. , H.M. Karara, 1971) разработали метод, позволяющий применять стереофотограмметрические алгоритмы к не метрологическим камерам (т.е. камерам без фиксированного и очень точного фокусного расстояния). Этот метод получил название «прямой линейной трансформации» (в англоязычной литературе «direct linear transformation method» или DLT). Суть его состоит в том, что по двум плоским снимкам можно восстановить третью координату.
Геометрическая интерпретация метода DLT. Предположим, что точка O в пространстве имеет координату на регистрирующей плоскости (РП). При обработке координат с РП спроецируем точку на в проекционной плоскости (ПП), например, на экран монитора (рисунок 1).
Обозначим оптический центр проекционной аппаратуры как N. Тогда, в инерциальном базисе XYZ, координаты точки N равны (). Координаты точки O в базисе XYZ равны (). Длина вектора, соединяющего точки N и О, в базисе XYZ равна: =[].
Добавим в ПП третью ось W и направим её ортогонально проекционной плоскости. Тогда в проекционной плоскости имеем систему координат VUW. Точка O, обладающая в инерциальном базисе XYZтремя координатами (), в базисе VUW ПП будет иметь координаты I=[] (рисунок 1).
Обозначим центр проекционной плоскости буквой Pи запишем для него координаты в базисе VUW как P=[].
Оптический центр проекционной аппаратуры Nв базисе VUW имеет координаты: N=[].
Вектор, проведенный из точки N в точку I относительно центра ПП (точкаP) имеет следующие координаты: =[] (рисунок 1).
Точки O, I и N коллинеарные, т.е. лежат на одной прямой, следовательно, длину вектора можно выразить как: =*, где — масштабирующий фактор.

Рисунок 1 – Верхний рисунок — проекция оптического центра О на проекционную плоскость (пояснения в тексте). Нижний рисунок – система координат, применяемая в методе DLT. XYZ– инерциальный базис; UVW – система координат камеры; N – оптический центр камеры; P- проекция оптического центра на проекционную плоскость; I– искомая точка

 

Поскольку вектор имеет трехмерные координаты, то спроецируем его на ПП через матрицу направляющих косинусов:
=* (1)
где — направляющие косинусы или
=
= (2)
-d=
Из уравнений (2) найдем масштабирующий коэффициент:
= (3)
Подставляя уравнение (3) в уравнения (2) получим, что
= (4)
=
При обработке видеоизображения координаты точки O в масштабе видеоснимка (например, экран монитора) рассчитываются в точках экрана – единицах, отличных от метрической системы. Следовательно, необходимо ввести поправочные коэффициенты и ,трансформирующие точки экрана в метрическую систему координат:
=*
=*
= (5)
=
Действительные координаты точки O в базисе XYZ можно выразить через координаты и базисавидеоснимкаVUW следующим образом:
=
=, (6)
где =; =;D= —;
=; =; =;
=
=; =; =;
=;
=; =; =
Коэффициенты — в уравнении (6) называются коэффициенты прямой линейной трансформации.
В уравнения (6) можно добавить ошибки, связанные с отображением реальных координат на видеоснимке, например, оптические искажения (и ). Тогда, уравнения DLT примут следующий вид:
=
= (7)
где ошибки в определении действительных координат, связанные с оптическими искажениями , имогут быть представлены следующим образом:
=
=,
где коэффициенты — связаны с оптической дисторсией линз регистрирующей системы и видеоснимке; r, и -поправочные коэффициенты. Коэффициенты — «исправляют» ошибки действительных координат вследствие нарушения оптического центра линз.
Из уравнения (6) следует, что три действительные координаты точки О в проекционной плоскости выражаются через две координаты, т.е. два уравнения типа (6). Следовательно, из одного плоского снимка (рисунок 1) нельзя получить три действительные координаты точки О (рисунок 1 нижний). Отсюда возникает потребность в создании стереопары, регистрирующей одновременно несколько точек. Количество регистрируемых точек зависит от уравнений, описывающих метод DLT. В таблице 1 представлены значения контрольных точек в зависимости от вида уравнений метода DLT.

Таблица 1 — Основные характеристики метода DLT

Рассмотрим более подробно уравнения необходимые для определения трехмерных координат точек на тест-объекте . Обозначим их как , где i– номер камеры; j – точки тест- объекта.
На одиннадцать неизвестных параметров —приходится как минимум 12 уравнений: 6 от первой камеры и 6 от второй камеры (рисунок 2). В матричном виде решение системы уравнений (6) сводится к следующему виду:
X*L=Y
L=( XT*X)-1*( XT*Y), (8)
где вектор-столбец L содержит калибровочные коэффициенты —; X — система уравнений (7); XТ – транспонированная система уравнений (7); Y — вектор-столбец двумерных координат в плоских снимках. Особенности калибровки камер при применении метода DLT:

• минимальное количество меток на тест-объекте 6;
• тест-объект должен перекрывать предполагаемое пространство локомоций с целью избежания необходимости экстраполировать калибровочные коэффициенты — на пространство большее размеров тест-объекта;
• после калибровки нельзя передвигать камеры;
• точки должны лежать в трех плоскостях;
• тест-объект (или одну из его сторон) выставлять строго вертикально, например, по отвесу;
• оптимальное отношение расстояний между камерами и объектом съемки 1 к 2.